Primera Unidad

NUMEROS REALES
NUMEROS REALES
NEGATIVOS CERO POSITIVO
RACIONALES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS RACIONALES

IRRACIONALES
LOS DE RAIZ IRRACIONALES

FUNDAMENTOS
NUMEROS REALES
Identidad (igualdad) a=a
Reciproco si a=b b=a
Transitivo si a=b y b=a a=c

SUMA O ADICION
Uniformidad si a=b y c=d a+c=b+d
Conmutatividad a+b=b+a
Asociatividad (a+b)

AXIOMA DE IDENTIDAD O METODO DE LA SUMA:
Hay un numero y solo un numero, el cero de modo que a+0=0+a=a, para cualquier valor de a.
De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idéntico o modulo de la suma.

MULTIPLICACION
Uniformidad si a=b y c=d ac=bd
Conmutatividad ab=ba
Asociatividad (ab)c=a(bc)
Distribución a(b+c)=ab+ac

IDENTIDAD O MODULO DE POTENCIA a.1=1.a=a
Existencia de inverso:
Para todo número real de a diferente a cero corresponde un numero real, y solo uno, X, de modo que ax=1. Este número X se le llama inverso o reciproco de a y representa 1/a = a=1/a.

AXIOMA DE ORDEN
Tricotomía si a>b; a=b o aMonotonía de la suma si a> a+b>b+c
Monotonía de la multiplicación a>b y c>0 ac>bc

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RELATIVOS
49/27=1.81 a b c d e f g

0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5


NUMEROS PRIMOS
Son aquellos que se pueden dividir entre ellos mismos y la unidad. Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11.

DESCOMPOSICION FACTORIAL:
a(a+b)=a2+ab
(x+2)(x+3)= x2+3x+2x+6= x2+5x+6
X2+4x+4= (x+2)(x+2)

DESCOMPONER EN FACTOREZ O FACORIZAR:
a2=2a=a(a+2)
10b-30b2=10b(1-3b)
18mxy2-54m2x2y2+36my2= 18my2( x-3mx2+2)

FACTOR COMUN DE UN POLINOMIO:
x(a+b) +m(a+b)= (a+b)(x+m)
2x(a-1)-y(a-1)= (a-1)(2x-y)

PROBLEMAS CON NUMEROS FRACCIONARIOS Y RAZONAMIENTO DEDUCTIVO:

Sara pidio 100 refrescos de naranja y de cola a una tienda. Los de naranja se los vendieron a $0.60, y los de cola a$0.50. si pago en total $56.00. Cuantos refresco de naranja y cola pidió?
Naranja=?
Cola=? N=.60 x 60 = $36.00
C= .50 x 40 = $20.00

3 cuadrillas de pizcadores levantan una cosecha en 10 días. Cuantos días haría el mismo trabajo 15 cuadrillas en las mismas condiciones?
3:10 :: 15:x

3/15 = 10/x
x=10(3/15)
x=2 dias

Mario tiene 36 años; hace 14 tenia el doble de la edad que tenia Ricardo en ese momento. Cuanto años tiene ahora Ricardo?
36-14=22/2=11+14-25

Mañana tendré una fiesta en mi casa. Andrea llegara al as 11 p.m. con sus 2 hermanos y se ira a la 1 a.m. Raúl vendrá con 4 amigas y llegara a las 10 p.m. para retirarse a las 2 a.m. Isabel su hermana u sus respectivos novios quedaron de llegar desde las 9 p.m. por que se tienen que ir a las 11 p.m. Mi hermano estará conmigo todo el día. Cuantas sillas necesito como mínimo para que podamos estar todos sentados durante la fiesta?
3=11-1
5=10-2
4=9-11
2=”” ””
14-4= 10 sillas se ocuparan


OPERACIONES CON FRACCIONES:

La señora García compro 4 ½ metros de tela para hacer trapos de cocina; si cada trapo lleva ¾ de metro de tela. Cuantos trapos podrá hacer?
Compro: 4 ½m =4.5
Trapo: 3/4m =.75
R= logra hacer 6 trapos

Si un terreno tiene un area de 120 m2 y otro tiene 360 m^2. La razón del primero respecto al segundo es:
2/6 respecto al segundo = 1/3

Un ciclista recorre 90 km en 2 hrs cuantos km recorrerá en 1 min.
45 km /1hr 750m /1min
45000m /60min =.75min = 3/4de km en 1 hr

Cual es el máximo común divisor de 72 y 90:
a)10
b)6 72 / 18 = 4
c)14 90 / 18 = 5
d)22
e)18

Si una hacienda de 320 hectáreas tiene cultivado el 85 % de su tierra. Cuantos hectáreas tiene cultivadas?

.85
3200000
2720000 = 272 hectáreas

Si un terreno de forma rectangular mide el doble del largo que del ancho y su área es de 128 m2. Cuales son sus dimensiones?
2x= 16 (2x)(x)= 128 2x=2(8)= 16
x =8 2x2= 128
A= 128 m2 =
x= 8

Cual es la medida de la diagonal de un terreno rectangular cuyas dimensiones son de 16m X 8m.
c2=b2+a2
c2= 256+64
c= =17.88m

PROPIEDAD DE LAS DESIGUALDADES
1.- Si a>d, entonces, a+c>b+c
2.- Si a>b, entonces, a-c>b-c
3.- Si a> y c>0, entonces, ac>bc
4.- Si a>b y c>0, entonces, a/c> b/c
5.- Si a6.- Si a>b y c<0, entonces, a/c< b/c

Las dos primeras propiedades establecen que el mismo numero puede sumarse o restarse en ambos lados de la desigualdad. La tercera y cuarta propiedad indican que ambos lados de la desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier numero real positivo.
Las dos ultimas propiedades indican que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por un numero negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

NUMERO NATURAL:
Los números naturales son los que nos sirven para contar: 1, 2, 3, 4,… Los tres puntos significan que la colección continua indefinidamente. El conjunto de los números naturales se expresa con una N y no incluye el cero.

NUMEROS ENTEROS:
Los números enteros es el conjunto de números negativos y positivos, además del cero. Se representan con la letra Z; así, tenemos que el conjunto de los números enteros es Z={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

NUMERO RACIONAL:
Así como los números naturales son abstracciones del proceso de contar colecciones finitas de objetos, los números racionales son abstracciones de proceso de medición de cantidades como: áreas, longitudes, pesos y tiempo. Además generalizan el concepto de número entero mediante la operación de división.

NUMEROS IRRACIONALES:
Entre el conjunto de los números reales, no todos son racionales; es decir, que se pueden expresar en forma de cociente. A estos números que no son racionales se les llama irracionales.
Si queremos la raíz de 5, pues no existe un numero entero que multiplicado por si mismo de 5:
2 x 2 = 4 y 3 x 3 = 6
Entonces la raíz de 5 es un números irracional, ya que no existe numero entero que multiplicado por si mismo de cómo resultado 5 por lo tanto no se puede expresar en forma de cociente.

NUMERO REAL:
Representa a todo numero definido como:
• Números Naturales
• Enteros Negativos Y Enteros Positivos
• Racionales Negativos Y Racionales Positivos
• Irracionales Negativos E Irracionales Positivos

NUMEROS PRIMOS:
Son aquellos que pueden dividirse entre ellos mismos y la unidad como : 2, 3, 5, 7, 11.
El conjunto de los números que engloban a todos los elementos de este conjunto mayores de 1 que son divisibles únicamente por si mismo y por la unidad.

NUMEROS: es una entidad abstracte que representa una magnitud.

SISTEMA DE ECUACIONES:

2 x 2 y 3 x 3

Métodos:
• Igualación
• Sustitución
• Reducción

Resolución por determinantes
Sea:
• a1x+b1y=c1
• a2x+b2y=c2

X= c1 b1
c2 b2
a1 b1
a2 b2
Y= a1 c1
a2 c2
a1 b1
a2 b2
Don Renato tiene 37 animales entre conejos y gallinas que sumando sus patas nos dad 100. Cuantos conejos y gallinas tiene?
x+y=37
4x+2y=100

X= 37 1 74-100/2-4= -26/-2= 13
100
1 1
4 2

Y= 1 37 100-148/2-4 = -48/-2 = 24
4 100
1 1
4 2

RESOLUCON POR DETERMINANTES EJEMPLOS:
METODO 2 X 2

15x-11y = -87
-12x -5y = -27

X= -87 -11
-27 -5 435-297/ -75-132= 138/-207= 0.666 = -2/3
15 -11
-12 -5

Y= 15 -87
-12 -27 -405-1044/-75-132 = -1449/-207 = 7
15 -11
-12 -5

14x-11y=-29
-8x+13y=30

X = -29 -11
30 -8 232+330/-112+143 = 562/31 = 18.129 = 18 4/31
14 -11
13 -8

Y = 14 -29
13 30 420+377 / -112+143 = 797/31 = 25.709 = 25 22/31
14 -11
13 -8

METODO 3 X 3

2x+4y+3z=3
10x-8y-9z=0
4x+4y-3z=2
-96
A= 2 4 3 72 =96
10 -8 -9 120 A= 24-96 = -72
4 4 -3 48
2 4 3 120 =24
10 -8 -9 -144

-48
A x= 3 4 3 108 = 60
0 -8 -9 0 Ax= 0-60 = -60
2 4 -3 72 x = -60/-72=.833 = 5/6
3 4 3 0 = 0
0 -8 -9 -72






0
Ay= 2 3 3 36 =-24
10 0 -9 -60 Ay= -48 +24 = -24
4 2 2 0 y = -24/ -72 = .333 = 1/3
2 3 3 60 =-48
10 0 -9 -108

Az= 2x+4y+3z=3
2(.333)+4(.833)3z=3
.666+3.332+3z=3
3.998+3z=3
Z=3-3.998/3
Z=.998/3
Z=-0.332

2x+y-3z=-1
x-3y-2z=-12
3x-2y-2=-5
27
A= 2 1 -3 8 =36
1 -3 -2 1 A=12-36=-24
3 -2 -1 6
2 1 -3 6 =12
1 - 3 -2 -6
-45
Ax= -1 1 3 -4 =-37
-12 -3 -2 12 Ax=-85+37=122
-5 -2 -1 3 x=122/-24=-5.0833 = -5 1/12
-1 1 -3 72 =85
-12 -3 -2 10
108
Ay= 2 -1 -3 20 =129
1 -12 -2 1 Ay=45-129=-84
3 -5 -1 24 y= -84/-24 = 3.5 = 3 1/2
2 -1 -3 15 =45
1 -12 -2 6

Az= 2x+y3z=-1
2(5.0833)+(3.5)-3z=-1
-10.166+3.5-3z=-1
-6.66-3z=-1
Z= -1 + 6.66 /-3 = 5.66/-3 = -1.888

SUMATORIAS:

= (1)2+(2)2+(3)2+(4)2+(5)2+(6)2= 91

= (3(1)-2=1)+(3(2)-2=4)+(3(3)-2=7)+(3(4)-2=10)+(3(5)-2=13)+(3(6)-2=16)= 51

FORMULAS DE LAS SUMATORIAS:















FRACCIONES COMPLEJAS:
Ejemplo:
10 2/3 + 4/3 = 12
3x 10 +2 = 32/3 + 4/3 = 36/3 = 12

Encontrar el valor de x=
10 1/3 –x + 7/3 = 1/3
31/3 –x +7/3 = 1/3
38/3 –x = 1/3
-x = -37/3
X=37/3 = 12 1/3





PROBLEMAS:
La suma de 9 números consecutivos nos da 999. Cuál será el primero de ellos?
999= x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6+x+7+x+8=
9x=999-36
9x=963
X=963/9
X=107

5 números consecutivos que restándolos de -647. Cuál sería el primero de ellos?
x-x-1-x-2-x-3-x-4=-647
-3x+10=-647
-3x=-657
X=-657/-3
X=219
219-218-217-216-215=-647


RAPIDO:
Suma y resta de términos:
(2 a2+3b +c)-(a2-b-c) = a2+4b+2c

Multiplicación:
(2 a3+ 3b)(-4 a)= -8 a4 -12 ab

División:
6x2+3x/3x = 2x+1

Binomios:
(2x+3)2= 4x2+12x+9
(3x2+y3)3 = 27x6+27x4y3+9x2y6+y9

Factorizar
X2+12x+36 = (x+6)(x+6)

Despejar:
2x+3=x-2
2x-x=-2-3
X=-5

Derivadas:
f(x)=2x2+1
f(x) = 4x

f(x) = 3x3+2x2+3
f(x) = 9x2+4x

d/dx= [f(x)+g(x)] = d/dx [f(x)] +d/dx [g(x)]

h(x) = (4x2-1)(7x3+x)
d/dx = 4x2-1 d/dx [7x3+x] +7x3+x d/dx [4x2-1]
=4x2-1(21x2+1) + 7x3+x(8x)
84x4+4x2-21x2-1+56x4+8x2
F’(x) = 140x4 -9x2 -1

PRUEBITA:

FACTORIZAR:
a) X2+12x+36 = (x+6)2
b) [2x+1/3][2x-1/5] = 4x2 – 1/15
c) (2x2+3y3)2 = 4x4+12x2y3+9y6

=-8 / x2
=-8 / (2)2
=-8/4 = -2