DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORIZAR:
a6 -3 a4 +8 a3 -4 a2= a 2(a 4 -3 a2 +8 a -4)
15c3d2+60c2d3= 15c2d2(c+4d)
24 a2xy2 -36x2y4= 12xy2(2 a2 -3xy2)
14x2y2 -28x3 +56x4= 14x2(y2 -2x +4x2)
34 ax2 +51 a2y -68 ay2= 17 a (2x2 +3 ay -4y2)
96 – 48mn2+144n3= 48(2 –mn2+3n3)
55m2n3x+11m2n3x2-220m2y3= 55m2(n2x+2n3x2-4y3)
3 a2b+ 6 ab – 5 a3b2 + 8 a2bx +4 ab2m= ab(3 a+6-5 a2b+ ax+4bm)
9 a2-12 ab+15 a3b2-24ab3= 3a (3a-4b+5a2b2-8b3)
a20-a16+a12-a8+a4-a2= a2(a18-a14+a10-a6+a2-a)
a3(a-b+1)-b2(a-b+1) =(a-b+1)(a3-b2)
a(n+2)+(n+2)=(n2)(a+1)
(a+3)(a+1)+4(a+1)= (a+1)[(a+3)(-4)]
1-x+2a(1-a)= (1-a)(1+2a)
4x(m-n)+(n-m)= 4x(m-n)-(-n+m)=4x(m-n)-1(m-n)= (m-n)(4x-1)
BINOMIOS AL CUADRADO:
(a2+2b)2= a4+4a2b+4b2
(5x3+3y2)2= 25x6+30x3y2+9y4
(8-3ª)2= 64-48a+9a2
(17c2d5+9a3b)2= 289c4d10-306 a3bc2d5+85 a6b6
3/5y3- 4/3)2= 9/25y6-24/15y3+16/9
BINOMIOS AL CUBO
(m2+n3)3= m6+3m4n+3m2n+n3
(2 a-3)3= 8 a3-36 a2+54 a-27
(5-4x2)3= 125-300x2+240x4-64x6
(4x2y-2z)3= 64x6y3 -96x4y2z +48x2yz2 -8z3
(3 a2b3 +5x)3= 27 a6b9 +135 a4b6x +225 a2b3x2 +125x3
(7m2+9 n3)3 343 m6 +1323 m4n3 +1701m2n6 +729n9
IDENTIFICAR NUMEROS:
½= Q, R.
= I, R
-6= N-, R
2= N+, R
343/8= Q, R
-6= N-, R
2= N+, R
343/8= Q, R
= I, R
21/3-7= N+, R
PROPIEDADES:
(3x-8x-35)(4x+35)--------- Mosquetero
12x3-105x2-32x2-280x-14x-1225------------Reacomodo
12x3-137x2-420x-1225----------Simplificación
4(x+3)-(x/2+6)----------Mosquetero
4x+12-2x/2-12---------Cancelación
4x-x= 3x-----------Simplificación
2(x+2) = 3(X)+1----------Mosquetero
2x+4=3x+1-------------Reacomodo
2x-3x=1-4-------------Simplificación
-x=-3-----------Reacomodo
X=3------------Simplificación
JERARQUIA DE OPERADORES:
ARBOL SINTAXICO Y SUSTITUCION
(3x-4y)-(5x+2y)
-
3x-4y 5x+2y
- +
3x 4y 5x 2y
-* * * *
3 x 4 x 5 x 2 y
x= 2 y=1
1.-3(2)=6
2.-4(1)=4
3.-5(2)=10
4.-2(1)=2
5.-6-4=2
6.-10-2=8
7.-2-(8)=-16
4[3(x+y)-6y(x-y)]
4* 3(x+y)-6y(x-y)
-
3(x+y) 6y(x-y)
* *
3 x+y 6y x-y
+ * -
x y 6 y x y
x=-4 y=2
1.- -4+2= -2
2.- -4-2= -6
3.- 3(-2)= -6
4.- -6(2)= -12
5.- -12(-6)
6.- -6+72= 66
7.- 4(66)= 264
x5+7(x+1)
+
X5 7(x+1)
* *
x---5 7 x+1
+
X 1
X= -5
1.- (-5)5= -3125
2.- -5+1= -4
3.- 7(-4)= -28
4.- -3125-28= -3153
SIMPLIFICACION:
2/5x+1/5x-6/5x= -3/5x
2 a/x +2 a/y -6 a/x -4 a/x= -8 a/x +2 a/y
-2 a3b2 +2 a2b3 +a2b3 -2 a2b3 –a3b2= -3 a3b3 +a2b3
-3x3y2-5x3y+x3y+5x3y2= 2x3y2-4x3y2
-20m+40m-10m-10m= 0
-7/8 abc +2/3 abc+ 4/12 abc = -21/24 abc+16/24 abc +8/24 abc = 3/24 abc
FACTORIZACION
7 a-7b+7c-7d= 7(a-b+c-d)
49x4-35x3+14x2= 7x2(7x2-5x+2)
m2(a+b) +n(a+b) = (a+b)(m2+n)
(1/3 a2 +2/5b)(4/5x)+(1/3 a2 +2/5b)(2/5y)= 1/3 a2 +2/5b)(4/5x2+2/5y)
44 s3b4 +33 a2b3-11 ab2= 11ab2(4 a2b2+3 ab-1)
(6x-7y)(a+b)2+(-2x-5y)(a+b)2= (a+b)2[(6x-7y)+(-2x-5y)]
9x2(3a +2b -4c)-9x2(-5a +3b -6c)= 9x2[(3a +2b -4c)-(-5a +3b -6c)]
ECUACION LINEAL:
2y-5(2y+3)=2y+5
2y-10y-15=2y+5
2y-10y-2y=5+15
10y=20
y=20/10
y= 2
4x+2x+3=27
6x=27-3
6x=24
x= 24/6
x= 4
12+4(m-3)=6(5-m)
12+4m-12=30-6m
4m+6m=30
10m=30
m= 30/10
m=3
4x-3=4x-3(x+2)
4x-3=4x-3x-6
4x-4x+3x=-6+3
3x=-3
x=-3/3
x=-1
5y-4=4+4(y+2)
5y-4=3+4y+8
5y-4y=3+8+4
y=15
MEZCLAS:
Un químico tiene dos soluciones que son acido en 80% y 30%, respectivamente. Qué cantidad de cada una necesita para formar 200L de una solución que sea acido en un 62%?
1era. Solución: 80% de acido
2da. Solución: 30% de acido
Solución final: 200L. 62% de acido
Cantidad de solución Porcentaje de acido Cantidad de acido
1era. Solución X 80% 0.8x
2da. Solución (200-x) 30% 0.3(200-x)
Solución final 200 62% 0.62(200)
0.8x+ 0.3(200-x) = 0.62(200)
0.8x+60-0.3x=124
0.5x = 124-60
0.5x=64
X=64/0.5
X = 128
0.8(128)+0.3(200-x)=0.62(200)
102.4+60-0.3x=124
-0.3x=124-102.4-60
-0.3x=-38.4
X=-38.4/-0.3=128
Una solución de 280ml es sal en un 20%. Cuanta agua se le tiene que agregar para tener una solución que sea en un 14%?
Solución – 14%
Solución final 280ml, 20% de sal
Cantidad de solución Porcentaje de sal Cantidad de sal
Solución 1 X 14% 0.14x
Solución final 280ml 12% 0.12(280)
0.14x = 0.12(280)
0.14x = 33.6
X =33.6/0.14 = 240 ml en la primera solución
Un abarrotero quiere hacer una mezcla de nueces de 90c por libra con otras de $1.60 por libra para hacer 175 libras de una mezcla que cueste $1.3 por libra. Qué cantidad de clases debe utilizar?
1era. Mezcla 90c por libra
2da. Mezcla $1.6 por libra
Mezcla final 175 libras por $1.3 la libra
Cantidad de mezcla Precio por libra Cantidad de nueces
1era. Mezcla X 90c 0.09x
2da mezcla 175-x $1.60 1.6(175-x)
Mezcla final 175 1.3 1.3(175)
0.09x+1.6(175-x) = 1.3(175)
0.09x+280-1.6x = 227.5
-1.51x = 227.5-280
X = -52.5/-1.51 = 34.76
MOVIMIENTO:
Calcular el tiempo en segundos que tardara un tren en desplazarse 3km en línea recta con una velocidad de 70
V= 70 x x = 19.44
d = 3km = 3000m
t=?
v= t=
t = = 154.32 s
Determinar el desplazamiento en m que realizara un ciclista al viaja hacia el sur a una velocidad de 35 durante 1.5 min
V= 35 x x = 9.72
d =?
T= 1.5min = 90 s
d = vt =( 9.72 )(90s) = 874.8 m
Un motociclista lleva una velocidad inicial de 2 al sur, a los 3 seg su velocidad es de 6 . Cual es su aceleracion?
= 2
= 6
a =
t 3 s
a= = = = 1.33
Determina la rapidez que llevara un ciclista a los 5s, si al bajaj por una pendiente adquiere una aceleracion de 1.5 y parte de una rapidez inicial de 3
= 3
=
t = 5s
a = 1.5
a= = at = = = (a)(t)+
(1.5 )(5s)+3
7.5 +3
= 10.5
PROBLEMAS:
Una tortuga avanza a una velocidad constante de 2 km/h, dos días después sale Aquiles a 20 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarla?
Vt= 2km/h
Va= 20 km/h
t= 2 dias =48 h
d= (Vt)(t)= (2km/h)(48h)= 96 km
v=d/t = t=d/Va = 96km/20km/h = 4.8 h = 5h 20 min
La misma tortuga del ejemplo anterior está a 110 km de Maratón, donde se encuentra Aquiles. Si los dos salen al mismo tiempo, con las mismas velocidades del ejemplo anterior, ¿cuánto tardan en encontrarse?
d= 110 km
Vt= 2 km/h
Va= 20 km/h
t= d/v = 110 km/18 km/h = 6 h, 11 min
Un corredor entrena a una velocidad constante de 12 km/h, en una pista de 400m. Después de 2 vueltas un segundo corredor sale a una velocidad de 16 km/h. ¿cuánto tardará en alcanzarlo? ¿en qué vuelta?
V1 = 12km/h = 3.33 m/s
d1= 400 m
d2=800 m
V2 =16km/h = 4.44 m/s
t1= 800m/3.33m/s = 240.24s en 2 vueltas
t2= 400m/4.44 m/s = 90.09 en una vuelta
AL CAMPO DE MERIENDA. El otro día, cuando fuimos al campo de merienda, el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h. y el de vuelta, a 30 km/h. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje completo?
V1=60 km/h
V2 = 30 km/h
60km/h + 60km / 2 = 120 km/ 3h = 40 km/h
EL AVIÓN Y EL VIENTO. Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. Viaja con aire en calma, manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. Si soplara un fuerte viento de A hacia B, y el número de revoluciones se mantiene como antes, ¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta?
De A a B en tiempo se mantuvo igual no gano ni perdió tiempo pero tardara el doble de tiempo en B hacia A que el tiempo que tardo de A hacia B.
PROMEDIANDO. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir una cuesta, y al de 6 km/h al bajarla. ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total? (Se supone, claro está, que tan pronto alcanza la cima, inicia el descenso)
Vm= Vf-Vi/2 = 6km/h – 2km/h/2 = 4km/h/2 = 2km/h
DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA. Dos ciclistas situados a 60 Km. de distancia entre sí corren en línea recta al encuentro mutuo, ambos a una velocidad de 30 Km/h. Ambos parten a la vez y en el momento de partir, una mosca sale de la frente del primer ciclista a una velocidad de 45 Km/h. Al llegar a la frente del segundo ciclista, vuelve a la misma velocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y así sucesivamente hasta que ambos ciclistas la aplastan al chocar sus frentes. ¿Cuál será la distancia recorrida por el infortunado insecto?
d= 60 km
C1= 30km/h
C2 = 30km/h
t= d/v = 60 km / 30 +30 = 60km/60 km/h = 1 hora
t= 1 h
Vi= 45 km/h
d= (45km/h)(h) = 45km
¿COGIÓ EL TREN? Un hombre tenía que ir en bicicleta a la estación, que estaba a 12 kilómetros, a coger el tren. Pensó lo siguiente: “Tengo una hora y media para coger el tren. Cuatro kilómetros son cuesta arriba, y tendré que hacerlos a pie, a cuatro kilómetros por hora; hay cuatro kilómetros cuesta abajo, que haré a doce kilómetros por hora; cuatro kilómetros son de carretera llana, que podré hacer a ocho kilómetros por hora. La media es de ocho kilómetros por hora, así que llegaré justo a tiempo.” ¿Estaba razonando como es debido?
d= 12km t=1.5h = Vi=18km/h
d2= 4km v= 4km/h = t1 = 1h
d3= 4km v= 12km/h =t2= 0.33
d4= 4km v= 8km/h = t3 = 0.5h
Σt= 1.83 h = 1 h 50 min
Tuvo que haber llegado a la estación en 1h ½ para poder alcanzar el tren, pero llego a la estación en 1h 50 min, ocea que llego 20 min tarde
LOS ANUNCIOS DE CERVEZA DE LA AUTOPISTA. Carlos conducía su automóvil a velocidad prácticamente constante. Iba acompañado de su esposa. -¿Te has dado cuenta - le dijo a su mujer - de que los anuncios de la cerveza parecen estar regularmente espaciados a lo largo de la carretera? Me pregunto a cuánta distancia estarán unos de otros.
La señora echó un vistazo a su reloj de pulsera y contó el número de anuncios que rebasaban en un minuto.
-¡Qué raro! -exclamó Carlos-. Si se multiplica ese número por diez se obtiene exactamente nuestra velocidad en kilómetros por hora.
Admitiendo que la velocidad del coche sea constante, que los anuncios estén igualmente espaciados entre sí, y que al empezar y terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos anuncios, ¿qué distancia los separa?
V= 10x km/h
t= 1h = 60x
d= 10x km
1km = 10x/60x = 6x anuncios xkm por lo tanto 1/6 km
. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS. Una tarde mi amigo Andrés remó en barca desde su pueblo hasta el pueblo más cercano y después regresó otra vez hasta su pueblo. El río estaba en calma como si de un lago se tratase. Al día siguiente repitió el mismo recorrido, pero esta vez el río bajaba con cierta velocidad, así que primero tuvo que remar contra corriente pero durante el regreso remaba a favor. ¿Empleó más, menos o el mismo tiempo que el día anterior en dar su acostumbrado paseo en barca?
R= mientras mas fuerte sea la corriente del Rio en contra mas tardara en remar
EL ENCONTRONAZO. Un camión circula a 65 km/h. Tres kilómetros por detrás le sigue un coche a 80 km/h. Manteniendo las respectivas velocidades, si el coche no adelanta al camión es seguro que chocará contra él. ¿A qué distancia estará el coche del camión un minuto antes del choque?
V1= 65km/h
d= 3km
v2= 80km/h
V2-V1= 80km/h-65km/h = 15km/h = 15000m/60 min = 250m/min
LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO. Un gato y un perro entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 del perro. ¿cuál es el resultados de la carrera?
d= 100m x2
perro 3m x salto = 100 / 3 = 33.3 saltos, como no puede dar 33 saltos para completar los primeros 100 ósea que tiene que dar tiene que dar 34 saltos = 102 m.
gato 2m x salto = 100m / 2 = 50 saltos.
En pocas palabras cuando el perro recorre 204m y da 68 saltos , el gato lleva los 100 saltos realizados. Por lo tanto cuando el perro es por realizar el sato 67 el gato gano la carrera
VIENTO EN CONTRA. Un ciclista recorre 1 Km. en 3 minutos a favor de viento, y regresa en 4 minutos con viento en contra. Suponiendo que siempre aplica la misma fuerza en los pedales, ¿cuánto tiempo le llevaría recorrer una distancia de 1 Km. si no hubiera viento?
d1= 1km
d2= 1km
V= d/t = 1km/ 0.033h = 30.3 km/h
T= 1km/ 30.3km/h = 0.03 h
1h = 60 min
0.03h = 2 min
Un corredor mejor calificado da a otro una ventaja de 15m si la velocidad del 1ero. el se 7m/s y la del otro es de 8 m/s. a que distancia el 2do. corredor podra alcanzar al 1ero.
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s 14s 15s
Movil 1 m/s 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120
Móvil 2 m/s 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120
A los 15 segundos los dos alcanzan una distancia de 120 m
PREGUNTAS:
1.- Define lo que es función:
R: una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto B.
2.- Anotar 5 ejemplos de función
f(x)=2x-1
f(x)=x2
f(x)=5x5-3x3+x
f(x)= 3x+1/2x+2
f(x)= 2x2
3.- Esplique el significado de función:
R: el numero f(x) es el valor de f en x y se lee f de x
4.- Que es una constante absoluta o numérica?
R: una contante numérica se escribe como un numero real
5.- Que es una contante arbitraria?
R: la contante arbitraria C se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración puesto que C puede tener cualquier valor.
6.- Que es una constante independiente?
R: es aquella que no ocupa un valor es la que le podemos dar el valor cualquiera
7.- Que es una variable independiente?
R: es a la que le podemos dar cualquier valor
8.-Que es una variable dependiente?
R: va a tener valor dependiendo del valor que se le de a X numero
9.- A que se le denomina intervalo de una variable:
R: se le denomina al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados : “a y b”
10.- Cual es la notación y significado de un intervalo cerrado?
R: [ ], toca el punto dado en el intervalo cerrado. Se utilizan para indicar que los puntos finales son parte de la solución.
11.- Cual es la notación y significado de un intervalos abierto?
R: ( ), no toca el punto pasa rozando. Los puntos finales no son parte de la solución.
12.- Cual es la notación y significado de un intervalos infinito?
R:∞, indica que el conjunto solución continua indefinidamente.
13.- Esplique el dominio y rango de una función:
R: el conjunto A se llama dominio de la función. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x varia en todo el dominio A.
14.- Defina función algebraica:
R: una función recibe este nombre se puede construirse usando operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíz) a partir de polinomios.
15.- Defina función trascendente:
R: las que no son algebraicas. El conjunto de las funciones incluye las trigonométricas y las trigonométricas inversas, las exponenciales y las logarítmicas.
16.-Defina función irracional:
R: es la función cuadrada cuyo dominio es [0,∞) y cuya grafica es la mitad superior de la parábola x=y2.
17.- Que se entiende por función racional?
R: f es una razón de dos polinomios f(x)=P(x)/Q(x)
18.- Como se expresa una función entera?
R: se expresa “w” se dice que es entera se es analítica en todo el plano.
19.-defina función polinomial:
R: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0
Donde n es un entero no negativo y los # a0,a1,a2,…an, son llamados coeficientes del polinomio, el dominio de cualquier polinomio (-∞,∞).
Escriba cada uno de los siguientes intervalos en notación de desigualdad:
a) [-6, 4] = -6≤ x ≤ b = cerrado
b) (-3, 3] = -3< x ≤ 3 = semiabierto por la izquierda.
c) (-5, 9) = -5 < x < 9 = abierto
d) [-3, ∞) = x ≥ -3 = semiabierto por la derecha.
e) [-8, 7] = -8 ≤ x ≤ 7 = cerrado
f) (-∞, 2) = x < 2= abierto
21.- Clasificar las siguientes funciones=
a) x5 – 3x3 + 2x = polinomial
b) y = = función algebraica
c) f(x) = x2 – x = polinomial
d) y = sec x = función trigonométrica
e) f(x)= x = función potencia
f) y=cos 2x = función trigonométrica
g) y = x2+1/3x+2= función algebraica
h) y= log x = función logarítmica
i) f(x)= -5.25 = función constante
j) f(x)=2x1/2 = función exponencial